矩阵空间

Matrix Space) 矩阵空间是把同型矩阵当作“向量”来处理的向量空间。在 3.1 的基本例子中， $M$ 表示所有实 $2 \times 2$ 矩阵：

M = {[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] : a, b, c, d \in R} .

更一般地，所有 $m \times n$ 实矩阵构成

M_{m, n} (R) .

矩阵空间中的加法和数乘按对应位置进行：

α A + β B = [\begin{matrix} α a_{11} + β b_{11} & \dots & α a_{1 n} + β b_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α a_{m 1} + β b_{m 1} & \dots & α a_{m n} + β b_{m n} \end{matrix}] .

结果仍是 $m \times n$ 矩阵，所以矩阵空间对线性组合封闭。

矩阵空间的零向量是零矩阵。例如 $M$ 中的零向量是

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .

$M_{m, n} (R)$ 的维数是 $m n$ ，因为每个位置可以独立给出一个实系数。标准基矩阵 $E_{i j}$ 在第 $(i, j)$ 个位置为 $1$ ，其余位置为 $0$ 。任意矩阵都能唯一写成

A = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} E_{i j} .

因此所有 $2 \times 2$ 矩阵的空间 $M$ 是四维向量空间，尽管它的元素看起来不是列向量。

矩阵空间内部有许多子空间。所有上三角 $2 \times 2$ 矩阵构成

U = {[\begin{matrix} a & b \\ 0 & d \end{matrix}] : a, b, d \in R} .

它对加法和数乘封闭，所以是 $M$ 的子空间。

所有对角矩阵构成

D = {[\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & d \end{matrix}] : a, d \in R} .

它既是 $M$ 的子空间，也是 $U$ 的子空间。所有形如 $c I$ 的矩阵构成

{c I : c \in R},

这是一条矩阵空间中的直线。

对称矩阵

A^{T} = A

也构成子空间，因为对称性在加法和数乘下保持。反对称矩阵 $A^{T} = - A$ 同样构成子空间。

单独的非零矩阵不是子空间。例如 ${I}$ 不对数乘封闭，因为 $2 I \notin {I}$ ，也不包含零矩阵。只有 ${0}$ 这样的单点集合才是子空间。

所有可逆矩阵不是子空间，因为它不包含零矩阵，也不对加法封闭。所有奇异矩阵也不是子空间，例如

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = I,

左边两个矩阵都奇异，和却可逆。

固定行列式、固定秩、固定迹为非零常数的矩阵集合通常也不是子空间。相反，由齐次线性条件定义的矩阵集合常常是子空间，例如 $b = c$ 定义的对称 $2 \times 2$ 矩阵空间。

矩阵空间的元素是矩阵；列空间的元素是列向量。给定 $A \in R^{m \times n}$ ， $C (A)$ 是 $R^{m}$ 的子空间，而不是矩阵空间 $M_{m, n} (R)$ 的子空间。

不过二者都由线性组合组织。矩阵空间中组合的是矩阵本身，列空间中组合的是某个固定矩阵的列向量。理解这个区别可以避免把“矩阵作为向量”和“矩阵的列作为向量”混在一起。

矩阵空间说明，向量空间的元素可以是复合对象。函数空间把函数当作向量，多项式空间把多项式当作向量；矩阵空间把矩阵当作向量。它们共同依赖同一个判断原则：任意线性组合必须仍留在同一集合中。